Method note: these are concepts from the survival-analysis literature, cited to their primary sources. I studied them inside the DeepLearning.AI “AI for Medicine” specialization, but nothing proprietary from that course is reproduced here. The diagram is my own.
Context
The first time I met survival analysis it was framed around a grim question: how long until a patient dies? What took me a while to see is that the death part is incidental. The real subject is any “time until something happens” where, at the moment you analyze the data, some people simply have not had the event yet. That situation is everywhere in sport and rehab, and it quietly ruins the obvious way of computing averages.
The concept
The survival function is written S(t) = P(T > t), the probability that the event has not happened by time t. It obeys three rules: it starts at 1 (nobody has had the event at time zero), it only goes down or stays flat, and it drifts toward 0 over long enough time.
The piece that makes it special is censoring. Right censoring means you only know the event has not happened up to some point. An athlete who has not reinjured by the end of your follow-up is not a “no”, they are a “not yet, at least this long”. Two flavors show up: the study simply ends, or the person is lost to follow-up (they move, they leave the gym).
| Approach | What it does with "not yet" cases | Result |
|---|---|---|
| Drop the censored | Throws away everyone who has not had the event | Biased, usually too pessimistic |
| Count them as "never" | Assumes they never will | Biased, too optimistic |
| Kaplan-Meier | Keeps them in the denominator while observed, drops them when censored | Honest estimate from partial data |
The Kaplan-Meier estimator (Kaplan and Meier, 1958) multiplies survival probabilities across each time an event actually happens, so censored people still inform the curve for as long as you saw them. When you want to know which factors change the risk over time, the Cox proportional hazards model (Cox, 1972) gives each variable a hazard ratio: above 1 raises the moment-to-moment risk, below 1 lowers it.
Beyond medicine
Once you drop the word “mortality”, the same tools cover a lot of ground in sport and rehab:
- Return to play. Model time until an athlete returns after an injury, and compare protocols by their curves rather than a single average that ignores everyone still recovering.
- Time to reinjury. The honest question after an ACL is not “did they reinjure, yes or no”, it is “how long did the knee last, and who is still fine”. Censoring is the athletes who have not reinjured yet.
- Program dropout. Time until someone quits a training or rehab plan is a survival curve. Cox tells you whether load, supervision or sleep changes the hazard of quitting.
- Time to a personal record. Even progress is a time-to-event, with the people who have not hit the mark yet as the censored cases.
The transferable lesson is one habit: when your outcome is “how long until”, never throw away the people who have not had the event. They carry information, and the whole point of Kaplan-Meier is to use it.
Nota de método: estos son conceptos de la literatura de análisis de supervivencia, citados a sus fuentes primarias. Los estudié dentro de la especialización “AI for Medicine” de DeepLearning.AI, pero aquí no se reproduce nada propietario de ese curso. El diagrama es propio.
Contexto
La primera vez que me crucé con el análisis de supervivencia venía envuelto en una pregunta sombría: ¿cuánto falta para que un paciente muera? Lo que me tomó tiempo ver es que la parte de la muerte es lo de menos. El verdadero tema es cualquier “tiempo hasta que pasa algo” donde, en el momento en que analizas los datos, algunas personas simplemente todavía no han tenido el evento. Esa situación está en todas partes en el deporte y la rehabilitación, y arruina en silencio la forma obvia de sacar promedios.
El concepto
La función de supervivencia se escribe S(t) = P(T > t), la probabilidad de que el evento no haya ocurrido para el tiempo t. Cumple tres reglas: empieza en 1 (nadie ha tenido el evento en el tiempo cero), solo baja o se mantiene, y con suficiente tiempo tiende a 0.
La pieza que la hace especial es la censura. La censura por la derecha significa que solo sabes que el evento no ha ocurrido hasta cierto punto. Un atleta que no se ha vuelto a lesionar al final de tu seguimiento no es un “no”, es un “todavía no, y al menos por este tiempo”. Aparecen dos sabores: el estudio simplemente termina, o la persona se pierde del seguimiento (se muda, deja el gimnasio).
| Enfoque | Qué hace con los casos "todavía no" | Resultado |
|---|---|---|
| Descartar los censurados | Bota a todos los que no han tenido el evento | Sesgado, casi siempre demasiado pesimista |
| Contarlos como "nunca" | Asume que nunca lo tendrán | Sesgado, demasiado optimista |
| Kaplan-Meier | Los mantiene en el denominador mientras se observan, los saca al censurarse | Estimado honesto a partir de datos parciales |
El estimador de Kaplan-Meier (Kaplan y Meier, 1958) multiplica probabilidades de supervivencia en cada momento en que de verdad ocurre un evento, así que los censurados siguen informando la curva durante todo el tiempo que los viste. Cuando quieres saber qué factores cambian el riesgo en el tiempo, el modelo de riesgos proporcionales de Cox (Cox, 1972) le da a cada variable un hazard ratio: por encima de 1 sube el riesgo instantáneo, por debajo de 1 lo baja.
Más allá de la medicina
En cuanto quitas la palabra “mortalidad”, las mismas herramientas cubren mucho terreno en el deporte y la rehabilitación:
- Return to play. Modela el tiempo hasta que un atleta vuelve tras una lesión, y compara protocolos por sus curvas en lugar de un promedio único que ignora a todos los que aún se recuperan.
- Tiempo a la re-lesión. La pregunta honesta tras un LCA no es “¿se relesionó, sí o no?”, es “¿cuánto aguantó la rodilla y quién sigue bien?”. La censura son los atletas que todavía no se han relesionado.
- Abandono del programa. El tiempo hasta que alguien deja un plan de entrenamiento o rehabilitación es una curva de supervivencia. Cox te dice si la carga, la supervisión o el sueño cambian el riesgo de abandonar.
- Tiempo a un récord personal. Incluso el progreso es un tiempo-al-evento, con quienes aún no han llegado a la marca como los casos censurados.
La lección transferible es un hábito: cuando tu resultado es “cuánto falta para”, nunca botes a quienes no han tenido el evento. Cargan información, y todo el sentido de Kaplan-Meier es usarla.